N? er vi snart klare til ? lande p? Vicinus. Michelle skal selv holde seg i banen sin, mens landingsenheten Lucas skal ned til overflaten. N?r Lucas etter hvert begynner ? komme seg inn i atmosf?ren vil han kjenne en luftmotstand som kan beregnes med f?lgende formel:
\(F_d = \frac{1}{2}\rho C_d A v_{drag}^2\)
Der \(\rho\) er atmosf?rens tetthet, \(C_d\) er dragkoefissienten for legemet, \(A\) er arealet for legemet og \(v_{drag}\) er hastigheten relativt til atmosf?ren. Legg spesielt merke til den atmosf?riske tettheten \(\rho\), det er den vi er interessert i n?. Denne st?rrelsen er vi helt avhengig av ? kjenne til for at Lucas skal ta seg trygt ned til overflaten. Som vi vet fra hjemme p? jorden, vil den atmosf?riske tettheten avta jo lengre opp du kommer. Vi m? finne en funksjon som forteller oss hvordan tettheten avhenger av h?yde. Men hvordan kan man finne ut hvordan tettheten avhenger av h?yde p? en planet man aldri har v?rt p?, hvor man ikke har mulighet til ? g? inn og m?le tettheten direkte?
Det er her en fysiker trekker frem et av sine kraftigste v?pen: Antagelser. Noen vil kalle det for tull og t?ys, mens andre vil kalle det ren og skj?r sort magi. Men dersom fysikeren har gode kunnskaper, kan han faktisk med god grunn gj?re disse n?rmest magiske triksene. Peder og jeg er ikke helt sikre p? om v?re kunnskaper holder m?l, men vi skal gi det et godt fors?k.
S? her er v?re antagelser om atmosf?ren til Vicinus:
- Atmosf?ren er uniform. Siden vi fant ut at atmosf?ren v?r best?r av 33,3% O2, 33,3% H2O og 33,3% CO2, betyr dette at vi antar at ethvert punkt i atmosf?ren har denne fordelingen. Vi vet at i virkeligheten er atmosf?ren delt opp i mange partikler, men det vil ikke utgj?re noen forskjell i beregningene v?re.
- Atmosf?ren er sf?risk symmetrisk. Det vil si at tettheten kun er avhengig av h?yden over bakken. Om du flytter deg rundt i atmosf?ren uten ? variere h?yden, er det ingen grunn til at tettheten skal endre seg.
- Atmosf?ren er i hydrostatisk likevekt. Dette g?r vi n?rmere inn p? snart, men kort sagt betyr det at gravitasjonskraften og det atmosf?riske trykket er i balanse. For enhver h?yde vil gassen der hverken bli presset ut i verdensrommet av atmosf?retrykket eller bli akselerert ned mot sentrum av Vicinus av gravitasjonskraften, gassen vil alts? ligge stille.
- Atmosf?ren er en ideell gass. Dette er en god tiln?rmelse for gasser i temperaturer vi erfarer hjemme p? jorden, og vi vil tro at det samme gjelder under forholdene p? Vicinus.
- Atmosf?ren er adiabatisk for temperaturer ned til \(\mathbf{\frac{T_0}{2}}\), der \(\mathbf{T_0}\)er overflatetemperaturen. Dette betyr at temperaturen i gassen kan endre seg uten ? miste eller gi varme til omgivelsene sine. Vi vet at dette stemmer godt hjemme p? jorden, og forventer det samme av Vicinus. (Temperaturen synker dess h?yere opp i atmosf?ren vi kommer).
- Atmosf?ren er isotermisk for temperaturer under \(\mathbf{\frac{T_0}{2}}\). Dette betyr at temperaturen er den samme i hele denne delen av gassen. Vi vet at dette ogs? er noe som stemmer godt p? jorden, og antar derfor det samme her.
- Tyngdeakselerasjonen er den samme i hele atmosf?ren. Atmosf?ren er s?pass liten i forhold til resten av planeten (b?de i masse og utstrekning) at dette vil v?re en god antagelse.
I tillegg til disse antagelsene har vi allerede beregnet overflatetemperaturen \(T_0\), som viste seg ? v?re p? ca. 289 Kelvin. Michelle har ogs? fortalt oss at overflatetettheten \(\rho_0\) er omtrent 5,09 kg/m3. Denne informasjonen er, sammen med antagelsene v?re, alt vi trenger for ? finne ut hvordan b?de tettheten og temperaturen til atmosf?ren varierer med h?yde.
Antagelsene v?re gir oss f?lgende likninger for atmosf?ren:
- \(\frac{dP}{dr} = -\rho(r)g\), der \(g = \frac{GM}{R^2}\) er tyngdeakselerasjonen p? Vicinus, \(P\) er trykket og \(\rho(r)\) er tettheten. Dette er hydrostatisk likevekt uttrykt matematisk.
- \(P = \frac{\rho kT}{\hat{m}}\) der \(\hat{m}\) er den gjennomsnittlige massen til et molekyl i atmosf?ren og \(k\) er Boltzmanns konstant. Dette er ideell gasslov.
- \(P^{1-\gamma}T^\gamma = \text{konstant}\) der \(\gamma\) er satt til ? v?re 1,4. Dette er sammenhengen mellom trykk og temperatur for en adiabatisk gass.
- \(T = \text{konstant}\) for en isotermisk gass.
Setter vi disse sammen, f?r vi to differensiallikninger. ?n for ?vre del av atmosf?ren, der gassen er isotermisk:
\(\frac{d}{dr}(\frac{\rho(r)kT}{\hat{m}}) = -\rho(r)g\)
og en f?r den nedre delen av atmosf?ren, der gassen er adiabatisk:
\(\frac{dP}{dr} = -\frac{\hat{m}g}{kT}P\)
Peder og jeg har l?st dem, og dette er det vi fant:
\(\rho(r) = \begin{cases} \rho_0(1 - \frac{\mu}{\gamma}(\gamma-1)(r-R))^\frac{1}{\gamma-1} & r \leq r_m \\ \\ 2^\frac{1}{1-\gamma}\rho_0 e^{2\mu(R-r)+\frac{\gamma}{\gamma-1}} & r > r_m \end{cases}\)
\(T(r) = \begin{cases} T_0(1-\mu(\gamma-1)(r-R))^{\frac{1}{\gamma-1}} & r \leq r_m \\ \\ \frac{T_0}{2} & r > r_m \end{cases}\)
der vi definerer konstanten \(\mu = \frac{\hat{m}g}{kT_0}\), \(R\) er radiusen til Vicinus, og \(r_m = \frac{\gamma}{2\mu(\gamma-1)} + R\) er h?yden der gassen g?r fra ? v?re adiabatisk til ? v?re isotermisk.
Dette ser ut til ? stemme godt. P? planetens overflate f?r vi ut \(\rho(R) = \rho_0\) og \(T(R) = T_0\), slik det skulle v?re. I tillegg f?r vi at \(\rho(r)\) og \(T(r)\) er kontinuerlige (sjekk selv ved ? regne ut \(\rho(r_m)\) og \(T(r_m)\) for b?de isotermisk og adiabatisk gass!)
Figurene under viser grafene til begge funksjonene:
Dette ser jo ogs? ut som noe fornuftig! Tettheten og temperaturen er slik den skal p? overflaten, i skillet mellom gassene, og avtar med h?yden, slik vi forventet. Temperaturen ligger til slutt konstant p? litt over 140 K, slik vi forventer av en isotermisk gass. Merk at dette kun vil v?re gyldig s? lenge vi befinner oss i atmosf?ren, slik vi gj?r i definisjonsomr?det til disse figurene. G?r vi noe h?yere enn dette befinner vi oss i verdensrommet, hvor temperaturen vil v?re lavere.
N? har vi modellen vi trengte for atmosf?ren, og er dermed nesten helt klare til ? sende Lucas ned til Vicinus. Men f?rst m? vi finne oss et fint sted ? lande. F?lg med til neste gang!
Logg inn for ? kommentere